SIMETRÍA AXIAL Y CENTRAL. ROTACIÓN Y TRASLACIÓN

Simetría axial es toda aquella simetría que se produce alrededor de un eje. Es decir, aquella que tiene
lugar cuando los semiplanos que se toman a partir de un mencionado eje, al que contienen, presentan
idénticas características.

En la simetría axial se produce el mismo fenómeno que se da al reflejar cualquier objeto en un espejo.
A los puntos que pertenecen a la figura simétrica se les llama puntos homólogos, es decir, A’ es
homólogo de A, B’ es homólogo de B, y C’ es homólogo de C. Además, las distancias existentes
entre los puntos de la figura original son iguales que las distancias entre los puntos de la figura
simétrica.

La simetría central, en geometría, es una transformación en la que a cada punto se le asocia otro punto llamado imagen, que debe cumplir las siguientes condiciones:

a) El punto y su imagen están a igual distancia de un punto llamado centro de simetría.
b) El punto, su imagen y el centro de simetría pertenecen a una misma recta.

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ÁNGULOS DE LA CIRCUNFERENCIA: TEOREMA DEL ÁNGULO CENTRAL.

En una circunferencia, el ángulo cuyo vértice está en el centro es el doble del ángulo cuyo vértice está
en la circunferencia cuando los rayos que forman el ángulo cortan a la circunferencia en los
mismos dos puntos.
Esta proposición también es conocida como teorema del ángulo central: El ángulo central subtendido
por dos puntos de una circunferencia es el doble que cualquier ángulo inscrito subtendido por esos
dos puntos.
Mueva libremente los puntos A, B y C.  Observe la relación matemática entre los ángulos alpha y
beta.

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SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS. DIBUJO A ESCALA

Dos polígonos son semejantes si tienen la misma forma, sus ángulos son respectivamente iguales
(congruentes) y sus lados proporcionales.  Es decir,  uno de los polígonos es una ampliación o
reducción de la otra

CIRCUNFERENCIA,  CÍRCULO  Y  ESFERA.

CÍRCULO:El círculo es el conjunto de todos los puntos de la circunferencia y de los interiores de la
misma.
ESFERA: Es un cuerpo geométrico engendrado al girar una semicircunferencia alrededor de su
diámetro.
Centro de la esfera: es el centro de la semicircunferencia y corresponde al punto O.
Radio de la esfera: es el radio de la semicircunferencia (segmento OA).
Diámetro de la esfera: es el segmento que une 2 puntos opuestos de la superficie esférica, pasando
por el centro (segmento AB)

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PRISMAS, PIRÁMIDES Y DESARROLLOS PLANOS.

Prisma:
Un prisma es un poliedro que tienen dos caras paralelas e iguales llamadas bases y sus caras laterales
son paralelogramos.

Pirámide
Es un poliedro, cuya base es un polígono cualquiera y cuyas caras laterales son triángulos con un
vértice común, que es el vértice de la pirámide.

CLASIFICACIÓN  DE  PRISMAS  Y  PIRÁMIDES.  POLIEDROS.

Los prismas se pueden clasificar en:
ü  Prisma triangular: las bases son triángulos.
ü  Prisma cuadrangular: las bases son cuadriláteros.
ü  Prisma pentagonal: las bases son pentágonos.
ü  Prisma hexagonal: las bases son hexágonos.
Las pirámides se clasifican en:
ü  Pirámide triangular: la base es un triángulo.
ü  Pirámide cuadrangular: la base es un cuadrilátero.
ü  Pirámide pentagonal: la base es un pentágono.

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SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERNOS Y EXTERNOS DE TRIÁNGULOS, CUADRILÁTEROS Y OTROS POLÍGONOS

-Un ángulo interior es un ángulo dentro de una figura.
-Un ángulo exterior es un ángulo entre un lado de una figura y la línea que se extiende desde el lado
siguiente
            TRIÁNGULOS
Interiores:Los ángulos interiores de un triángulo suman 180°
Exteriores: El valor de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no
adyacentes.
Un ángulo interior y exterior de un triángulo son suplementarios, es decir, suman 180º.


              CUADRILÁTEROS
Interiores: Los ángulos interiores de un cuadrilátero suman 360°
Exteriores: la suma de los ángulos exteriores de un cuadrilátero es de 360°

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CLASIFICACIÓN DE CUADRILÁTEROS CON BASE EN SUS PROPIEDADES.

DEFINICIÓN DE CUADRILÁTERO: Los polígonos limitados por cuatro lados y que además forman entre sí cuatro ángulos, se denominan “Cuadriláteros”.

NOTACIÓN: Todo cuadrilátero se indica por las letras mayúsculas de sus vértices.

PROPIEDADES DE LOS CUADRILÁTEROS:

1. Los “LADOS OPUESTOS” son iguales y que no tienen ningún vértice en común.
2. Los “LADOS CONSECUTIVOS” son los que tienen un vértice en común.
3. Los “VÉRTICES Y ÁNGULOS OPUESTOS” son los que no pertenecen a un mismo lado,
4. siendo los ángulos iguales.
5. La “SUMA DE ÁNGULOS INTERIORES” es igual a cuatro rectos (360°).
6. Los “ÁNGULOS ADYACENTES” a un mismo lado son suplementarios, es decir, suman 180°.
7. Las “DIAGONALES” se cortan en su punto medio.
8. El “NÚMERO TOTAL DE DIAGONALES” que pueden trazarse siempre son dos y que se
9. cortan en un punto interior.
10. Desde un Vértice solo puede trazarse una “DIAGONAL”.

CLASIFICACIÓN DE CUADRILÁTEROS:
Si los lados opuestos son paralelos entre sí, se les denomina “PARALELOGRAMOS”.

CUADRADOS: Es un polígono regular que tiene sus ángulos y lados iguales.

RECTÁNGULOS: Es un paralelogramo que tiene sus lados contiguos desiguales, es decir, solamente
sus lados opuestos son iguales; sus cuatro ángulos son rectos.

ROMBOS: Paralelogramos que tiene sus lados iguales y sus ángulos son oblicuos, es decir, sus
ángulos no son rectos.

ROMBOIDES: Paralelogramo que tiene sus lados contiguos desiguales, es decir, solamente sus lados
opuestos son iguales y sus ángulos son oblicuos

Si únicamente dos de sus lados opuestos son paralelos, es decir, los que se llaman “Bases” y los otros
dos no, se denominan “TRAPECIOS”

TRAPECIO ESCALENO: Es aquel que tiene los lados no paralelos desiguales

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RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES EN EL PLANO. CONSTRUCCIÓN CON REGLA Y COMPÁS.

RECTA
Una Recta es una sucesión infinita de puntos, situados todos en una misma dirección, en tanto, esa
sucesión se caracteriza por ser continúa indefinida, por tanto, una recta no tiene ni principio ni fin;
junto al plano y al punto, la recta es uno de los entes geométricos fundamentales. Y paralela es un
adjetivo que se emplea para referirse aquello semejante, correspondiente o que ha sido desarrollado
en un mismo tiempo.

RECTAS PARALELAS
Las rectas paralelas son aquellas rectas que se encuentran en un mismo plano, presentan la misma
pendiente y que no presentan ningún punto en común, esto significa que no se cruzan, ni tocan y ni
siquiera se van a cruzar sus prolongaciones. Uno de los ejemplos más populares es el de las vías de
un tren.

RECTAS PERPENDICULARES
Dos rectas que se encuentran en el mismo plano son perpendiculares cuando forman cuatro ángulos
rectos. En el caso de las semirrectas, la perpendicularidad aparece cuando se conforman ángulos
rectos, por lo general con el mismo punto de origen.

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TRIÁNGULOS: EQUILÁTEROS, ISÓSCELES Y ESCALENOS.

TRIÁNGULO ACUTÁNGULO ISÓSCELES:
con todos los ángulos agudos, siendo dos iguales, y el otro distinto. Este triángulo es simétrico
respecto de su altura.

TRIÁNGULO ACUTÁNGULO ESCALENO:
 con todos sus ángulos agudos y todos diferentes, no tiene eje de simetría.

TRIÁNGULO ACUTÁNGULO EQUILÁTERO:
sus tres lados y sus tres ángulos son iguales; las tres alturas son ejes de simetría (dividen al triángulo
en dos triángulos iguales)

Construcción de triángulos

Un triángulo, tiene tres lados y tres ángulos.   Para construir un triángulo hay que conocer tres de esos datos, siendo al menos uno de ellos un lado.

Conociendo sus tres lados:

1. Se representa un segmento de medida igual al primer lado.
2. Desde cada extremo del primer lado se traza una circunferencia de radio el valor del segundo y
3. tercer lado.
4. El triangulo tiene vértices los extremos del primer segmento y una de las intersecciones de la

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ÁNGULOS Y SU MEDIDA: RECTOS, AGUDOS Y OBTUSOS. TRAZO CON REGLA Y COMPÁS.

TIPOS DE ÁNGULOS SEGÚN SU MEDIDA

Agudo < 90°
Recto = 90°
Obtuso>90°
Convexo < 180°
Llano = 180°
Cóncavo > 180°
Completo = 360

Medir un ángulo significa determinar su amplitud y, para hacerlo generalmente se utiliza el
transportador.

Un transportador es un instrumento en forma circular o semicircular y graduado angularmente.
Los ángulos se miden en grados sexagesimales. Un grado corresponde a la medida del ángulo que se
forma cuando una circunferencia se divide en 360 partes iguales.
Los grados indican la separación de los lados del ángulo. Mientras más separados están los rayos que
forman el ángulo, mayor es la cantidad de grados que este mide.

Para medir ángulos utilizando el transportador semicircular debes:

1° Colocar el trazo recto del transportador sobre uno de los lados del ángulo.
2° Hacer que el punto medio de ese trazo coincida con el vértice del ángulo.
3° Observar el otro lado del ángulo y su valor según la escala angular del transportador. Si el ángulo
está abierto hacia la izquierda debes fijarte en la escala externa y si está abierto hacia la
derecha en la escala interna.

Para medir ángulos utilizando el transportador circular debes:

1° Colocar uno de los lados del ángulo frente al 0°.
2° Hacer coincidir el centro de la circunferencia con el vértice del ángulo.
3° Observar el otro lado del ángulo y su valor según la escala angular del transportador.

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REVISIÓN DE LAS PROPIEDADES DEL RECTÁNGULO, CUADRADO Y TRIÁNGULO

  RECTÁNGULO.

PROPIEDADES DE UN CUADRADO
ü  El cuadrado es un cuadrilátero
ü  Sus 4 lados son igual longitud
ü  Tiene 4 ángulos, 4 ejes de simetría, 4 vértices y 4 aristas
ü  Cada ángulo mide 90°
ü  Sus diagonales son iguales

PROPIEDADES DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Un triángulo rectángulo es aquel en el que uno de sus ángulos es recto, los otros dos son agudos. Se
llaman catetos a los lados que forman el ángulo recto, siendo la hipotenusa el lado opuesto a ese
ángulo.

Perímetro:
El perímetro de un triángulo se obtiene sumando los tres lados; los dos catetos más
la hipotenusa.

Fórmula: P= a+ b+ c

Área
El área de un triángulo rectángulo es igual al producto de la base por la altura entre 2.
Fórmula: b x h / 2

El perímetro de un cuadrado es cuatro veces el valor de uno de sus lados,

Perímetro:
El área de un cuadrado es igual al cuadrado de la medida de uno de sus lados.

El perímetro de un rectángulo es igual a la suma de las longitudes de todos su lados.
El área de un rectángulo es igual a base por altura.
Área:

PROPIEDADES DEL RECTÁNGULO

ü  Es un cuadrilátero que tiene sus cuatro ángulos internos rectos.
ü  Cada ángulo es un ángulo recto de 90°
ü  Los lados opuestos paralelos son de igual medida.
ü  Sus dos diagonales son iguales, y se cortan en partes iguales en el centro de simetría.

P = 4 · a
A= a2

TEOREMA DE PITÁGORAS
El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el
lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos
(los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).
Fórmula: c^2 = a^2 + b^2

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REDONDOS

Los cuerpos redondos que son cuerpos geométricos compuestos total o parcialmente por figuras geométricas curvas; como por ejemplo el cilindro, la esfera o el cono.

-El cilindro que está compuesto dos bases circulares y una superficie curva continua, equivalente a un rectángulo.

-El cono compuesto por una base circular, y una superficie curva que la rodea y se une en un vértice que se encuentra sobre la perpendicular a la base que pasa por su centro.

-El cono truncado que siendo similar a un cono, tiene una base conformada por un plano inclinado, con lo cual adopta una forma de elipse.

-La esfera que es circular en todos sus planos centrales.

-La semiesfera que es una esfera que ha sido cortada por uno de sus planos circulares, de manera que tiene una base circular y una cúpula esférica.    

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POLIEDROS

POLIEDROS 

Los poliedros o cuerpos planos, son cuerpos

geométricos cuyas caras son todas figuras

geométricas exclusivamente planas. Entre los más

conocidos se encuentran los siguientes: SÓLIDOS 

PLATÓNICOS, PIRÁMIDE, PRISMA.

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CUERPOS Y FIGURAS

1.CUERPOS  Y  FIGURAS  GEOMÉTRICAS:  TRIÁNGULOS  Y  CUADRILÁTEROS.

Un cuerpo geométrico es una figura geométrica

de tres dimensiones: largo, ancho y alto. Se

pueden clasificar a su vez en poliedros y cuerpos

geométricos redondos o no poliedros.

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